Treatise on Quantum Clifford Algebras - Fauser
Contents
Abstract I
Table of Contents II
Preface VII
Acknowledgement XII
1 Peano Space and Graßmann-Cayley Algebra 1
1.1 Normed space – normed algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Hilbert space, quadratic space – classical Clifford algebra . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Weyl space – symplectic Clifford algebras (Weyl algebras) . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Peano space – Graßmann-Cayley algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 The bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 The wedge product – join . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.3 The vee-product – meet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.4 Meet and join for hyperplanes and co-vectors . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Basics on Clifford algebras 15
2.1 Algebras recalled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Tensor algebra, Graßmann algebra, Quadratic forms . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Clifford algebras by generators and relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Clifford algebras by factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Clifford algebras by deformation – Quantum Clifford algebras . . . . . . . . . . 22
2.5.1 The Clifford map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.2 Relation of C`(V;g) and C`(V;B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Clifford algebras of multivectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Clifford algebras by cliffordization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8 Dotted and un-dotted bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.8.1 Linear forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.8.2 Conjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8.3 Reversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Graphical calculi 33
3.1 The Kuperberg graphical method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Origin of the method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.2 Tensor algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.3 Pictographical notation of tensor algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.4 Some particular tensors and tensor equations . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.5 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.6 Kuperberg’s Lemma 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Commutative diagrams versus tangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2 Tangles for knot theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 Tangles for convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Hopf algebras 49
4.1 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.2 A-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Co-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.2 C-comodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Hopf algebras i.e. antipodal bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.1 Morphisms of connected co-algebras and connected algebras : group like
convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.2 Hopf algebra definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 Hopf gebras 65
5.1 Cup and cap tangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.1 Evaluation and co-evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.2 Scalar and co-scalar products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1.3 Induced graded scalar and co-scalar products . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 Product co-product duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1 By evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.2 By scalar products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 Cliffordization of Rota and Stein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.1 Cliffordization of products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.2 Cliffordization of co-products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.3 Clifford maps for any grade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3.4 Inversion formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4 Convolution algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 Crossing from the antipode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.6 Local versus non-local products and co-products . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.6.1 Kuperberg Lemma 3.2. revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.6.2 Interacting and non-interacting Hopf gebras . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6 Integrals, meet, join, unipotents, and ‘spinorial’ antipode 91
6.1 Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 Meet and join . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3 Crossings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.4 Convolutive unipotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4.1 Convolutive ’adjoint’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4.2 A square root of the antipode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4.3 Symmetrized product co-procduct tangle . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7 Generalized cliffordization 101
7.1 Linear forms on VV VV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2 Properties of generalized Clifford products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2.1 Units for generalized Clifford products . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2.2 Associativity of generalized Clifford products . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2.3 Commutation relations and generalized Clifford products . . . . . . . . . 107
7.2.4 Laplace expansion i.e. product co-product duality implies exponentially
generated bilinear forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3 Renormalization group and Z-pairing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3.1 Renormalization group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3.2 Renormalized time-ordered products as generalized Clifford products . . 111
8 (Fermionic) quantum field theory and Clifford Hopf gebra 115
8.1 Field equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.2 Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.3 Functional equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.4 Vertex renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.5 Time- and normal-ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.5.1 Spinor field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.5.2 Spinor quantum electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.5.3 Renormalized time-ordered products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.6 On the vacuum structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.6.1 One particle Fermi oscillator, U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.6.2 Two particle Fermi oscillator, U(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
VI A Treatise on Quantum Clifford Algebras
A CLIFFORD and BIGEBRA packages for Maple 137
A.1 Computer algebra and Mathematical physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.2 The CLIFFORD Package – rudiments of version 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.3 The BIGEBRA Package . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A.3.1 &cco – Clifford co-product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
A.3.2 &gco – Graßmann co-product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
A.3.3 &gco d – dotted Graßmann co-product . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.3.4 &gpl co – Graßmann Pl¨ucker co-product . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.3.5 &map – maps products onto tensor slots . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.3.6 &t – tensor product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.3.7 &v – vee-product, i.e. meet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
A.3.8 bracket – the Peano bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.3.9 contract – contraction of tensor slots . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.3.10 define – Maple define, patched . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.3.11 drop t – drops tensor signs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.3.12 EV – evaluation map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.3.13 gantipode – Graßmann antipode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.3.14 gco unit – Graßmann co-unit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
A.3.15 gswitch – graded (i.e. Graßmann) switch . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.3.16 help – main help-page of BIGEBRA package . . . . . . . . . . . . . . 151
A.3.17 init – init procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.3.18 linop/linop2 – action of a linear operator on a Clifford polynom . . 151
A.3.19 make BI Id – cup tangle need for &cco . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.3.20 mapop/mapop2 – action of an operator on a tensor slot . . . . . . . . . 152
A.3.21 meet – same as &v (vee-product) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.3.22 pairing – A pairing w.r.t. a bilinear form . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.3.23 peek – extract a tensor slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.3.24 poke – insert a tensor slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.3.25 remove eq – removes tautological equations . . . . . . . . . . . . . . 153
A.3.26 switch – ungraded switch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.3.27 tcollect – collects w.r.t. the tensor basis . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.3.28 tsolve1 – tangle solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.3.29 VERSION – shows the version of the package . . . . . . . . . . . . . . . 154
A.3.30 type/tensorbasmonom – new Maple type . . . . . . . . . . . . . . 154
A.3.31 type/tensormonom – new Maple type . . . . . . . . . . . . . . . . 154
A.3.32 type/tensorpolynom – new Maple type . . . . . . . . . . . . . . . 155
Bibliography 156
Contents
Abstract I
Table of Contents II
Preface VII
Acknowledgement XII
1 Peano Space and Graßmann-Cayley Algebra 1
1.1 Normed space – normed algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Hilbert space, quadratic space – classical Clifford algebra . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Weyl space – symplectic Clifford algebras (Weyl algebras) . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Peano space – Graßmann-Cayley algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 The bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 The wedge product – join . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.3 The vee-product – meet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.4 Meet and join for hyperplanes and co-vectors . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Basics on Clifford algebras 15
2.1 Algebras recalled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Tensor algebra, Graßmann algebra, Quadratic forms . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Clifford algebras by generators and relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Clifford algebras by factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Clifford algebras by deformation – Quantum Clifford algebras . . . . . . . . . . 22
2.5.1 The Clifford map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.2 Relation of C`(V;g) and C`(V;B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Clifford algebras of multivectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Clifford algebras by cliffordization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8 Dotted and un-dotted bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.8.1 Linear forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.8.2 Conjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8.3 Reversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Graphical calculi 33
3.1 The Kuperberg graphical method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Origin of the method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.2 Tensor algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.3 Pictographical notation of tensor algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.4 Some particular tensors and tensor equations . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.5 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.6 Kuperberg’s Lemma 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Commutative diagrams versus tangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2 Tangles for knot theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 Tangles for convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Hopf algebras 49
4.1 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.2 A-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Co-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.2 C-comodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Hopf algebras i.e. antipodal bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.1 Morphisms of connected co-algebras and connected algebras : group like
convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.2 Hopf algebra definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 Hopf gebras 65
5.1 Cup and cap tangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.1 Evaluation and co-evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.2 Scalar and co-scalar products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1.3 Induced graded scalar and co-scalar products . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 Product co-product duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.1 By evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2.2 By scalar products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 Cliffordization of Rota and Stein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.1 Cliffordization of products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.2 Cliffordization of co-products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3.3 Clifford maps for any grade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3.4 Inversion formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4 Convolution algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 Crossing from the antipode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.6 Local versus non-local products and co-products . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.6.1 Kuperberg Lemma 3.2. revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.6.2 Interacting and non-interacting Hopf gebras . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6 Integrals, meet, join, unipotents, and ‘spinorial’ antipode 91
6.1 Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2 Meet and join . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3 Crossings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.4 Convolutive unipotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4.1 Convolutive ’adjoint’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4.2 A square root of the antipode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4.3 Symmetrized product co-procduct tangle . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7 Generalized cliffordization 101
7.1 Linear forms on VV VV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2 Properties of generalized Clifford products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2.1 Units for generalized Clifford products . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2.2 Associativity of generalized Clifford products . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2.3 Commutation relations and generalized Clifford products . . . . . . . . . 107
7.2.4 Laplace expansion i.e. product co-product duality implies exponentially
generated bilinear forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3 Renormalization group and Z-pairing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3.1 Renormalization group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3.2 Renormalized time-ordered products as generalized Clifford products . . 111
8 (Fermionic) quantum field theory and Clifford Hopf gebra 115
8.1 Field equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.2 Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.3 Functional equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.4 Vertex renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.5 Time- and normal-ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.5.1 Spinor field theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.5.2 Spinor quantum electrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.5.3 Renormalized time-ordered products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.6 On the vacuum structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.6.1 One particle Fermi oscillator, U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.6.2 Two particle Fermi oscillator, U(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
VI A Treatise on Quantum Clifford Algebras
A CLIFFORD and BIGEBRA packages for Maple 137
A.1 Computer algebra and Mathematical physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.2 The CLIFFORD Package – rudiments of version 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.3 The BIGEBRA Package . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A.3.1 &cco – Clifford co-product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
A.3.2 &gco – Graßmann co-product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
A.3.3 &gco d – dotted Graßmann co-product . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.3.4 &gpl co – Graßmann Pl¨ucker co-product . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.3.5 &map – maps products onto tensor slots . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.3.6 &t – tensor product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.3.7 &v – vee-product, i.e. meet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
A.3.8 bracket – the Peano bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.3.9 contract – contraction of tensor slots . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.3.10 define – Maple define, patched . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.3.11 drop t – drops tensor signs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.3.12 EV – evaluation map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.3.13 gantipode – Graßmann antipode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.3.14 gco unit – Graßmann co-unit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
A.3.15 gswitch – graded (i.e. Graßmann) switch . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.3.16 help – main help-page of BIGEBRA package . . . . . . . . . . . . . . 151
A.3.17 init – init procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.3.18 linop/linop2 – action of a linear operator on a Clifford polynom . . 151
A.3.19 make BI Id – cup tangle need for &cco . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.3.20 mapop/mapop2 – action of an operator on a tensor slot . . . . . . . . . 152
A.3.21 meet – same as &v (vee-product) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.3.22 pairing – A pairing w.r.t. a bilinear form . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.3.23 peek – extract a tensor slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.3.24 poke – insert a tensor slot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.3.25 remove eq – removes tautological equations . . . . . . . . . . . . . . 153
A.3.26 switch – ungraded switch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.3.27 tcollect – collects w.r.t. the tensor basis . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.3.28 tsolve1 – tangle solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.3.29 VERSION – shows the version of the package . . . . . . . . . . . . . . . 154
A.3.30 type/tensorbasmonom – new Maple type . . . . . . . . . . . . . . 154
A.3.31 type/tensormonom – new Maple type . . . . . . . . . . . . . . . . 154
A.3.32 type/tensorpolynom – new Maple type . . . . . . . . . . . . . . . 155
Bibliography 156
